一、常用的数列极限？
lim趋近于0sinx/x与
重要极限lim趋近于0（1+x）^1/x=e
都是常用的极限。
二、一个数列能有多少极限？
一个数列的极限可以有无穷个
当n趋向于不同的数时
数列就可能会有不同的极限。
数列就可能会有不同的极限
三、什么数列有两个极限？
①
不可能，数列如果存在极限，只能有一个极限。这是极限的唯一性。
设{xn}极限为a，回忆一下极限定义，任取ε>0，存在n>0，当n>n时，有 |xn-a|<ε
证明极限唯一性，假设{xn}有两个极限a，b，且a>b
取ε=(a-b)/2，
存在n1，当n>n1时，有 |xn-a|<(a-b)/2 (1)
存在n2，当n>n2时，有 |xn-b|<(a-b)/2 (2)
取n=max{n1，n2}，则当n>n时，上面两式同时成立
(1)可化为：(b-a)/2(a+b)/2，另一个是xn<(a+b)/2
因此极限唯一。
②
根据极限定义，一个数列是不可以有两个极限的
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
(数列 {1/n} 的极限是 0，不是 1，因为数列的极限需要 n 趋于 [无穷]，
当 n 趋于无穷时，(1/n) = 0 ≠ 1，所以极限是 0)
四、当数列的极限是？
有了实数集的基础就可以进入正题——极限。
先说明几个符号的意义
“∀”——代表“任何”、“任意”。
“∃”——代表“存在”。
为了“线性”书写形式的方便，将采用中括号“[]”表示某些“非线性”书写形式（即利用此将其改变成“线性形式”），如
lim[n→∞] X(n)
∑[i=1,n] X(i)
∫[a,b] f(x)dx
一）数列及其极限的定义
数列是函数的一种特殊形式，即其自变量只取自然数，一般表示为{X(n)}，其中n∈N。由于自然数n只可能取无穷大为其极限点，所以数列也只有n趋向于无穷时的极限。
设{X(n)}是一个数列，A是一个实常数。如果对于任意给定的ε>0，存在正整数N，对于任何n>N，成立|X(n) - A|<ε，则称数列{X(n)}收敛于A（或称A是数列{X(n)}的极限）。记为
lim[n→∞] X(n) = A
上面的文字描述可以采用下述符号表述法：
lim[n→∞] X(n) = A ↔ ∀ε>0,∃N,∀n>N(|X(n)-A|<ε)
数列的这个极限定义形式通常被称为(ε-N)分析描述语言。此类分析描述语言是由柯西和魏尔斯特拉斯发明的。
二）魏尔斯特拉斯定理
单调有界数列必有极限。
证明：
不妨设数列{X(n)}单调增加且有上界。
根据确界存在定理，由{X(n)}构成的数集必有上确界A。
任意给定ε>0，A-ε必然不是数集{X(n)}的上界，即存在N使得A>X(N)>(A-ε)。
由于数列{X(n)}是单调增加的，所以对于任何n>N，成立A>X(n)>(A-ε)，即|X(n)-A|<ε。
同理可证数列{X(n)}单调减小且有下界的情况。
证毕。
三）柯西-康托尔原理（闭区间套定理）
如果{[a(n),b(n)]}构成一个闭区间套，即[a(n),b(n)]⊇[a(n+1),b(n+1)]，且lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = 0。则存在唯一实数c属于所有的闭区间[a(n),b(n)]，且c是数列{a(n)}和{b(n)}的极限。
由题设，显然数列{a(n)}和{b(n)}是单调有界数列，则其必有极限分别设为A和B。由于lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = B - A = 0，即A = B（设其为c），则
lim[n→∞] a(n) = lim[n→∞] b(n) = c
由于a(n)≤c≤b(n)，可见c属于所有闭区间[a(n),b(n)]。证毕。
四）波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理
有界数列必有收敛子列。
设数列{X(n)}有界，于是存在a1和b1成立a1≤X(n)≤b1。
等分闭区间[a1,b1]得两个闭区间[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b1]，其中至少有一个含数列{X(n)}中无穷多项，记为[a2,b2]。
按此过程继续可得一个闭区间套{[an，bn]}，显然(bn-an) = (b1-a1)/2^(n-1)，即lim[n→∞] (bn-an) = 0。
由闭区间套定理可知存在实数c属于所有闭区间[an,bn]，且lim[n→∞] an = lim[n→∞] bn = c。
现在构造数列{X(n)}的一个子列。
任取数列{X(n)}中的一项X(n1)，显然此项必在闭区间[a1,b1]内。
由于闭区间[a2,b2]内含有无穷多个数列{X(n)}的项，在其内选一个X(n2)且n2>n1。
按此过程继续可得数列{X(n)}的一个子列{X(nk)}，其通项X(nk)必在闭区间[ak,bk]内，则有关系
ak≤X(nk)≤bk
由极限的夹逼性可得
lim[n→∞] = c
五）柯西收敛原理
先定义基本数列：
如果数列{X(n)}具有如下特性
∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-X(m)|<ε)
则称此数列为基本数列。
数列{X(n)}收敛的充分必要条件是它是个基本数列。
先证必要性。如果数列{X(n)}收敛于A，按收敛定义有
∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-A|<ε/2∧|X(m)-A|<ε/2)
则有
|X(n)-X(m)|≤|X(n)-A|+|X(m)-A|<ε
即数列{X(n)}是个基本数列。
再证充分性。如果数列{X(n)}是个基本数列，对于选定的固定值ε，存在N，当m和n都大于N时成立
|X(n)-X(m)|<ε
现再固定m，显见X(n)有界，即数列{X(n)}是个有界数列。由波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理可知有界数列{X(n)}必有收敛子列{X(nk)}，设其收敛于A，即lim[k→∞] X(nk) = A。
因为{X(n)}是基本数列，故∀ε>0,∃N1,∀n>N1∧∀nk>N1(|X(n) - X(nk)|<ε/2)。
又由于lim[k→∞] X(nk) = A，则∃N2,∀nk>N2(|X(nk)-A|<ε/2)。
取N=max(N1,N2)，当∀n>N∧∀nk>N时有
|X(n)-A|≤|X(n)-X(nk)|+|X(nk)-A|<ε
即数列{X(n)}收敛（lim[n→∞] X(n) = A）。证毕。
六）实数系基本定理的等价性
前面分别给出了五个实数系基本定理以及它们的证明。从其证明的过程可以发现有下列推导关系
实数连续公理→确界存在定理→魏尔斯特拉斯定理→柯西-康托尔原理（闭区间套定理）→波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理→柯西收敛原理
此外，还存在如下的推导关系
柯西收敛原理→柯西-康托尔原理（闭区间套定理）→确界存在定理
由此可见，实数系的五个基本定理是完全等价的。
七）数列极限的性质和四则运算
下面简单罗列一下数列极限的一些性质和运算法则：
1、数列极限的唯一性
2、收敛数列的有界性
3、收敛数列的保序性
4、数列极限的夹逼性
5、数列极限的运算法则
a）lim[n→∞] (a X(n) + b Y(n)) = a lim[n→∞] X(n) + b lim[n→∞] Y(n)
b）lim[n→∞] (X(n) Y(n)) = lim[n→∞] X(n) lim[n→∞] Y(n)
c) 如果lim[n→∞] Y(n) ≠ 0，则lim[n→∞] (X(n)/Y(n)) = lim[n→∞] X(n) / lim[n→∞] Y(n)
五、什么数列一定有极限？
常数列一定有极限。
反证法，
如果无穷数列一定有极限，则任何无穷数列都应该有极限。
但无穷数列{a(n) = sin(nPI/2)}没有极限
【n = 4m时，a(n) = 0;n = 4m+1时，a(n) = 1; n = 4m+2时，a(n) = 0;n = 4m+3时，a(n) = -1】
这与无穷数列一定有极限的论断相矛盾，
因此，无穷数列一定有极限的论断是不正确的。
六、数列的极限点是什么？
一个实数α称为数列{a_n}的极限点，如果存在一子列{a_n_k}收敛于α。
七、一个函数或数列有几个极限？
看自变量趋向于什么值,一个函数可以有很多个极限,
如f(2x-1),当x趋向于0时,其极限为-1,当x趋向于1时,其极限为1,当x趋向于10时,其极限为19
数列（sequence of number），是以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数，是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，以此类推，排在第n位的数称为这个数列的第n项，通常用an表示。著名的数列有斐波那契数列，三角函数，卡特兰数，杨辉三角等。
这个问题很难回答，下面分几种情况说明：
1、对某一个点来说 A、有左极限，也有右极限，左右极限存在，并且相等，我们就是该点的极限存在； B、左右极限存在且相等，而且还跟函数在该点的定义值一致，就说该点是连续点； C、左右极限存在且相等，但不等于该点的定义值，就说该点是可去型极限间断点； D、可去型间断点，我们又称为第一类间断点，其他情况，一律称为第二类间断点。
E、第二类间断点，包括两者情况：左右极限存在但不相等、有无穷大的情况出现。
2、对函数的趋势，可以讨论x趋向于正无穷大或负无穷大的情况，这两者都是单侧极限。
3、考虑函数的趋势，还有一种就是考虑斜渐近线的情况，其实也是计算单侧极限。 总结： 计算极限，有两侧同时考虑的情况，左边计算，右边也计算；也可只考虑单侧极限。
八、如何理解“数列极限”，数学大师请进？
极限是无限迫近的意思。
数列 {Xn} 的极限的极限是a，代表数列xn无限迫近a。
从直观上理解，就是数列Xn能无限的靠近a。
从数学上讲，怎么才能算无限迫近呢？ 于是就出现了ε的概念，ε 其实代表距离，ε 无限的小，就表示Xn可以无限的靠近aXn是一个追求者，a是目标，1 - n，是步伐， N是追求的过程中的某一个步伐。
Xn不停的往前走，走到N的时候，Xn与a的距离已经很小了，甚至比 ε 还小。
现在假定ε 无穷的小，那么Xn就无穷的接近a了。
数列极限，给你多少点伤害? 因为在数列极限定义中丑陋难懂的语言，让绝大部分同学直接就晕了，开始严重怀疑自己的智商. 甚至各种爆粗口，这TM谁弄出来的，你丫给我站出来，看我不把[被]你整死！可以说数列极限的定义相对于初学者来说显得很抽象且难以理解，可以说是数学分析、高等数学入门的拦路虎。
应该明确极限概念是数学分析、高等数学中最基本也是最重要的概念之一，而数列极限又是极限概念的先导,所以掌握并深刻理解数列极限的概念对以后进一步学习微积分学有着非常重要的作用。
为了帮助初学者理解数列极限的定义以及如何运用数列极限的定义证明相关的数列极限问题，本文给出数列极限的几点注释，希望对初学者的学习有所帮助。
微积分诞生于17世纪70年代，不论是连续、微分、积分还是级数等，都不可避免地要与极限打交道. 那个年代的数学家是凭借直觉做数学的，逻辑上很难把极限讲清楚，受到很大的诟病.
必须承认，上述说法不但含糊不清，而且容易产生误解. 如果只停留在这种感性认识上，任何有意义的深入讨论都将无法进行下去. 因此，必须给出严格的数学定义.但要从逻辑上把上述问题讲清楚，却是异常困难的.
直到19世纪20年代Bolzano，Cauchy等人提出新的观点，而ε-N有语言的出现，把主从反过来看，1860年Weierstrass才严格地用今天的ε-N语言来处理极限问题.至此，微积分才算建立起无暇的逻辑基础.也就是说，语言是微积分的基石和工具.
首先我们来看关于数列极限的定义:
对数列极限ε-N定义的理解:
1、首先要明白好极限的概念。简单来说，数列有极限，意味着其在变化过程中无限的趋近于一个常数（如最常见的极限0）。
数列极限的等价定义:
其中(3)、(4)是以后常用的. 另外，(4)中的 k 是与ε，N无关的正常数.
2、理解并掌握最基本的数列的极限：
3、对于较复杂的数列在求解过程中，要先进行合理的变形和转化，如通分、求和、分子（母）有理化、分子分母同时除以n的最高次项（这个方法非常重要且常用）等。
4、数列极限的运算法则：
通过具体的例子给出应用ε-N定义证明数列极限的方法,同时也强化对数列极限的定义的理解。
最后续貂几句，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，抛开物理粒子的限制，《庄子》中的这句“不竭”，便形象描绘了这永不为零的ε——数项与极限无限地靠近着，却总是爱而不得。
在数列极限中，我们常常需要通过不断变化的ε，确定随之变化的N。
N在这里就像是一个标杆，比它大的那些n才是我们所要的符合范围的合格产品。
对于ε，我们并不一定要找到那个最接近0的数，而是找到那个对应的N，建立最合理的联系。
同样，我们的幸福标准，不向外寻找，不向高寻找。
我们的成功学定义，也不需要总是建立在别人的生命上。
最重要的，应该是在自己的心中，建立起独属于自己价值标尺。
