一、数列有极限，是有上界还是下界，还是都有？
①
极限和有界是不同的定义。通俗地，一个函数有极限必定有界，有界不一定有极限。极限是n趋于无穷大时，数列趋近于某个值，有界是两边有下界和上界。
②
考研数学中，证明数列极限存在的其中一种常见方法是单调有界法。
即要确定数列是否有界并且判断数列是否单调。
如果判断出数列单调上升且有上界或判断出数列单调递减有下界均可以证明数列的极限存在。
可以先证明数列有上(下)界然后证明数列的单调性；也可以先证明数列的单调性再证明数列存在上(下)界。
注意对于某一个不分段的确定数列来讲，它可能既存在着上界同时又存在着下界，但是它的单调性一旦存在，数列是递增还是递减是唯一可确定的。
所以判断出数列的单调性及数列的增减性至关重要。
方法我认为基本如下:方法①:数学归纳法，进行递推:自己预估数列是单增的还是单减的，如预估为单增可以先代入具体值得到X1＜X2,假设第n项时Xn即判断Xn+1＞Xn(或Xn+1＜Xn)得到单调性；行不通时也可通过Xn+1/ Xn ＞1(或Xn+1 / Xn ＜1)得到单调性。
方法②:第二种方法就是你将数列转化为函数之后(用到海涅定理的思想)再对函数求导来判断数列的单调性是否存在以及数列是递增的还是递减的这种方法。
方法是这样的:(李正元全书截图。
注意宇神18讲上并没有这个方法，所以19的研友们还是多留意下)这个其实可以利用拉格朗日中值定理来证明。
有数列｛Xn｝，包含X1,X2...Xn...根据前面方法①的铺垫，我们自然而然会想到利用“Xn －Xn-1”来判断数列单调性，见到这个东西，相信听过汤神或宇神课的朋友都能想到利用Lagrange对吧。
这时有，f(Xn)－f(Xn-1)=f'(ξ)(Xn－Xn-1) (ξ在Xn-1和Xn之间)再由递推式Xn+1=f(Xn),可将上面的等式写作:Xn+1－Xn=f'(ξ)(Xn－Xn-1)可以想到，如果数列是单调的，那么数列中后一项减前一项的和要么永远是大于0的(单增的情况)；要么永远是小于0的(单减的情况)。
如果后一项减前一项有的单增有的单减，那么这个数列它肯定不具有单调性。
所以我们会发现，数列具有单调性时，它的后一项减前一项的值永远是同号的(同正或同负)。
那么如何满足Xn+1－Xn和Xn－Xn-1始终同号呢？很显然要保证f'(ξ)是大于0的。
你会发现，这样并不能保证要判断的数列一定是单调递增的。
而具体判断递增递减很容易，既然一个数列的单调性存在，那这个数列是递增还是递减是客观唯一的。
所以说，可以求出数列前几项(可以是前两项)的数值，比较前几项的数值大小，进而确定出数列的整体增减性。
二、数列极限存在是数列有界的什么条件？
必要条件。要是无界，肯定不存在一个有限稳定极限。但是有界也未必极限存在，有可能不断震荡。
有界数列指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界。假设存在定值a，任意n有{An（n为下角标，下同）=B，称数列{An}有下界B，如果同时存在A、B使得数列{An}的值在区间[A,B]内，数列有界。
若数列{Xn}满足：对一切n 有Xn≤M（其中M是与n无关的常数） 称数列{Xn}上有界（有上界）并称M是他的一个上界。
对一切n 有Xn≥m（其中m是与n无关的常数）称数列{Xn}下有界（有下界）并称m是他的一个下界。
一个数列{Xn}，若既有上界又有下界，则称之为有界数列。显然数列{Xn}有界的一个等价定义是：存在正实数X，使得数列的所有项都满足|Xn|≤X，n=1,2,3，……。
注意
③
必要非充分条件。【解析】数列极限存在，则数列有界。(课本里面的定理)而数列有界，不能得出数列极限存在。比如，xn=(-1)^n有界，但极限不存在。
④
必要非充分条件。【解析】数列极限存在，则数列有界。(课本里面的定理)而数列有界，不能得出数列极限存在。比如，xn=(-1)^n有界，但极限不存在。
三、任何数列都有极限？
不是任何数列都有极限。
对于数列{an}，存在一个a为常数。若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当时有|aN-a|<ε，则称数列收敛于a，常数a就称为该数列的极限，若数列没有极限，则称不收敛，或称发散。
比如数列:1，-1，1，-1，……就没有极限。
四、什么数列有极限？
概念法：存在一个正数ε，当n>N时，|an-M| < ε恒成立 。
定理法：单调且有界数列必存在极限；夹逼准则；数学归纳法。
函数法：将数列的通项公式构成成函数，利用对函数求极限来判定数列的极限，要和夹逼准则或者概念法一起使用 。
极限的具体定义如下：
极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的数值（极限值）。极限的概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。在现代的数学分析教科书中，几乎所有基本概念（连续、微分、积分）都是建立在极限概念的基础之上。
性质
唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等；
有界性：如果一个数列{Xn}收敛（有极限），那么这个数列{Xn}一定有界。但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列1，-1，1，-1，……（-1）^n+1，……
和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{Xn}，{Yn}都收敛，那么数列{Xn+Yn}也收敛，而且它的极限等于{Xn}的极限和{Yn}的极限的和。
五、一个数列极限存在的话是有界数列吗？
是的。
数列极限存在，一定有界。
反之，数列有界，极限不一定存在。
数列肯定有下界，上面你所说的数列是有极限的，也就是说数列是收敛的，因此它的上界是n趋于无穷大时的极限，很显然，它的极限是0，因此，它的上界也就是0，所以该数列的上界与下界都存在，再取上界与下界两个值中的最大者就是数列的界了。
有界和有极限是2个概念，有界的数列是指数列中的每一项均不超过一个固定的区间，其中分上界和下界，假设存在定值a，任意n有an=b，称数列an有下界b。
如果同时存在a，b，是的数列an的值在区间［a，b］内，数列数列有界，有界的数列不一定有极限，比如an=sinn，an在［-1，1］之间，但是an是一个震荡数列。
有极限的数列是指当n趋向无穷大时，an趋向于一个定值，（注意是“一个”定值，不能是2个，这个可以作为证明一个数列没有极限的反证），所以有极限的数列一定是有界的。
六、一个数列的极限只有一个吗？
一个数列有极限，那么这个极限就是唯一的。
推倒依据:极限的唯一性来确定。
极限唯一性的内容是:函数极限存在，则该极限唯一。
所以如果同一个函数极限值有多个的时候，极限是不存在的。
也就是说极限值只能有且只有一个。
极限的定义，如果一个数列an有极限k，那么对于度任意正数l，总能找到一个正整数N，当n＞N的时候，总有|an-k|＜l成立。这才是an的极限是k
七、为什么数列极限存在函数？
1、极限不是数列特有的,数列可能有极限,可能没有极限；
2、数列的极限是指某个数列越来越趋近于某个数值,无止境地趋近,
差值无止尽地小下去,这个数值就是它的极限；
3、函数在某点的极限,只是越来越趋近于那个点的函数值；
4、连续函数也好,离散函数也好,你看成是数列,没有不对,它们
在某点的极限,只不过是越来越趋近于改点的函数值.它们可以上升
式趋近,可以下降式趋近,也可以波动式趋近；
5、函数也可以有整体函数图形的极限,这个极限的实质意思是函数图形
的趋势,是tendency,是trend,其实就是渐近线asymptote的概念；
6、也许你把极限的“限”做了“限制”的狭义理解了,没有丝毫的
限制意思,趋向于x=1的极限,刚刚算完,你又可以算倾向于x=0.01的
极限了.
7、极限的本质是研究趋势tendency,趋近是一个过程,是approaches,
这是英文教材上用的最多的词语,也有的书索性用 go,run,become,
都是一样的意思.
8、另外,也不要把极限的“极”跟任何“极值”相混淆,极限的英文是limit,
limit的本意有二：一是有个限度；二是趋近于
