一、一个数列满足什么就是极限？
数列有极限，即当n趋向无穷大时，数列的项Xn无限趋近于或等于a，
任意取一个值ε，是表明无论ε是多小的数，Xn与a的差总小于ε，就是Xn无限趋近于或等于a。
看n>N时，注意原话是：……对于任意小的ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|Xn-a|<ε，……。这是表明，无论ε多小，当n足够大时，都可以满足|Xn-a|<ε。就是即使ε小到非常小（趋近于0），当n大到足够大的程度（趋向于无穷大）也会满足Xn与a的差小于ε（趋近于0）。
扩展资料：
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法，它可以使求极限问题化繁为简，化难为易。
求极限时，使用等价无穷小的条件：
被代换的量，在取极限的时候极限值为0；
被代换的量，作为被乘或者被除的元素时可以用等价无穷小代换，但是作为加减的元素时就不可以。
二、为什么说数列是有界数列，但数列不一定有极限？
①
收敛的数列都是有界的，而有界的数列不一定收敛。
收敛数列有界的是教材当中的定理，这里不重复证明了。
有界数列不一定收敛举例如下数列xn=（-1）的(n+1)次方：1，-1，1，-1，1，-1，…
这个数列就是有界的，但其发散。
其证明方法参考子数列的极限问题（如果一个数列是收敛于a的，那么它的任意子列也收敛于a），用反证法。
②
收敛的数列必有界，有界的数列不一定收敛。如果数列不仅有界，而且是单调的，则其极限必定存在
数列有极限必有界。
证明：
若an→a，
那么有对所有的e>0,存在自然数n，
当n>n,时 |an-a|n时 a-e
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③
必要条件。因为如果数列有极限，则数列是有界的，因此数列有界自然是数列有极限的必要条件。但是数列有界不见得有极限，例如数列sin(n)就是有界的，但是当n趋于无穷的时候就没有极限。
④
首先明确一点：这不是数列。
若看成函数，在任意不含的闭区间上有界。
若看成数列，那么是无界的，这一点由在上的稠密性给出。
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三、为什么极限=0,数列就无穷小？
无穷小的情况就是极限为0，这个极限肯定存在。
两种情况：1、数列的极限等于0，也就是整个数列的数字逐渐趋向于0．2、整个数列到后面全部都是0，完完全全地等于0．这两种都是无穷小，极限都存在
极限等于无穷大的时候极限不存在．但是写的时候可以写成它等于无穷大．这只是一种写法．你心里面要知道极限其实不存在。
无穷小是一个变量：这是说‘无穷小’这个数值根据不同的取值精度，可以拟定很多种值。比方说默认精度到小数点后1位和10位的无穷小数值就会不同。
0．1，0．0000000001等。0是唯一的无穷小常数：这是说‘0’首先是一个无穷小数值，其次它针对任何不同的取值条件，其值都是固定的，所以它是常数，并且是唯一值为固定的常数。
扩展资料
举例：
11／21／4．
211／2．
421．．．
．．．
每个极限都是0，但乘再一起是无穷大，注意连乘取的极限和整体取的极限是不可交换的，如果可交换，则无穷个无穷小之积是无穷小。
n＋（－n）
n趋于无穷时，显然两个加项全是无穷大．但加一起等于零。
因为在自然值中0是最小的，所以∞接近0就是无穷小，负数虽然比0小，但它不是自然数
