一、高等数学的数列极限的定义怎么好理解啊？
数列极限是考虑时的情况，从1到这有限项不影响数列的趋近程度
如果数列极限存在且为，那么对于一个确定的，就会存在一个对应的，使得时，有成立
如果对于任意的，我们都能找到一个，使得时，有成立，那么我们说数列的极限是
二、数列极限定义中N是什么，有什么作用，为什么要强调n>N？
解答:
1、N是项数。是我们解出来的项数，从这一项(第n项)起，它后面的每一项 的值与极限值之差的绝对值小于任何一个给定的数(ε)。
2、由于ε是任给的一个很小的数，N是据此算出的数。可能从第N项起，也可 能从它后面的项起，数列的每一项之值与极限值之差的绝对值小于ε。 ε是理论上假设的数，N是理论上存在的对应于ε的数，ε可以任意的小，从 而抽象的证明了数列的极限。
3、你说限制n〉N行，你说它是一种严格的抽象理论的递推方式，那就更恰当 了。
事实上，在递推证明的过程中，各人采取的方式可能不一样，也许你 是n>N，而有人是n>N+1, 有人是n〉N-1，有人是n〉N+2,.....都是可能的 正确答案。
我们不拘泥于具体的N，而是侧重于证明时所使用的思想是否正确。
三、列极限和子列极限的概念？
①
函数极限是列,数列极限是子列1.例如x→a(a可以是有限的，也可以是无限的），可任取xn→a,得到f(xn)（称为f(x)的子序列）的极限存在，且都相等，那么f(x)的极限也存在，且与f(xn)的极限相等。
2、例如x→a(a可以是有限的，也可以是无限的），可任取xn→a。
得到f(xn)（称为f(x)的子序列）的极限存在，且都相等。
那么f(x)的极限也存在，且与f(xn)的极限相等。
函数极限的四则运算法则设f(x)和g(x)在自变量的同一变化过程中极限存在，则它们的和、差、积、商(作为分母的函数及其极限值不等于0)的极限也存在，并且极限值等于极限的和、差、积、商。
非零常数乘以函数不改变函数极限的存在性。
3、求极限基本方法有：1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。
2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。
3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。
②
首先，n是数列的项数，只能是正整数。
所以虽然写的是n→∞，但是事实上是n→+∞，只是因为作为项数，n只能是正整数，所以只能趋近于+∞，因此默认的规则是求数列极限的时候，+∞的﹢号省略，只写∞
所以n→∞，这个符号，希望你不用误以为是n→+∞和n→-∞的合并。
而x是函数的自变量，当x→∞的时候，既可以趋近于-∞，也可以趋近于+∞，所以这里∞前面的±号就不能省略。而x趋近于+∞的过程中，不仅仅可以取正整数，还可以取正小数、正分数、正无理数等等，x可以等于0.3；5/2；π等这些数。
所以只能取正整数的n的所有取值，都包含在可以取全部正数的x的取值范围中。
所以n→∞是x→+∞的子列。
重点是要明白，在极限中，如果没有特别说明的情况下，默认n是数列的项数，只能取正整数，所以只能趋近于+∞
③
列极限存在且等于a，则其任意子列极限也为a。反之，如果任意子列极限存在且为a，则列极限也为a。
四、当数列的极限是？
有了实数集的基础就可以进入正题——极限。
先说明几个符号的意义
“∀”——代表“任何”、“任意”。
“∃”——代表“存在”。
为了“线性”书写形式的方便，将采用中括号“[]”表示某些“非线性”书写形式（即利用此将其改变成“线性形式”），如
lim[n→∞] X(n)
∑[i=1,n] X(i)
∫[a,b] f(x)dx
一）数列及其极限的定义
数列是函数的一种特殊形式，即其自变量只取自然数，一般表示为{X(n)}，其中n∈N。由于自然数n只可能取无穷大为其极限点，所以数列也只有n趋向于无穷时的极限。
设{X(n)}是一个数列，A是一个实常数。如果对于任意给定的ε>0，存在正整数N，对于任何n>N，成立|X(n) - A|<ε，则称数列{X(n)}收敛于A（或称A是数列{X(n)}的极限）。记为
lim[n→∞] X(n) = A
上面的文字描述可以采用下述符号表述法：
lim[n→∞] X(n) = A ↔ ∀ε>0,∃N,∀n>N(|X(n)-A|<ε)
数列的这个极限定义形式通常被称为(ε-N)分析描述语言。此类分析描述语言是由柯西和魏尔斯特拉斯发明的。
二）魏尔斯特拉斯定理
单调有界数列必有极限。
证明：
不妨设数列{X(n)}单调增加且有上界。
根据确界存在定理，由{X(n)}构成的数集必有上确界A。
任意给定ε>0，A-ε必然不是数集{X(n)}的上界，即存在N使得A>X(N)>(A-ε)。
由于数列{X(n)}是单调增加的，所以对于任何n>N，成立A>X(n)>(A-ε)，即|X(n)-A|<ε。
同理可证数列{X(n)}单调减小且有下界的情况。
证毕。
三）柯西-康托尔原理（闭区间套定理）
如果{[a(n),b(n)]}构成一个闭区间套，即[a(n),b(n)]⊇[a(n+1),b(n+1)]，且lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = 0。则存在唯一实数c属于所有的闭区间[a(n),b(n)]，且c是数列{a(n)}和{b(n)}的极限。
由题设，显然数列{a(n)}和{b(n)}是单调有界数列，则其必有极限分别设为A和B。由于lim[n→∞] (b(n)-a(n)) = B - A = 0，即A = B（设其为c），则
lim[n→∞] a(n) = lim[n→∞] b(n) = c
由于a(n)≤c≤b(n)，可见c属于所有闭区间[a(n),b(n)]。证毕。
四）波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理
有界数列必有收敛子列。
设数列{X(n)}有界，于是存在a1和b1成立a1≤X(n)≤b1。
等分闭区间[a1,b1]得两个闭区间[a1,(a1+b1)/2]和[(a1+b1)/2,b1]，其中至少有一个含数列{X(n)}中无穷多项，记为[a2,b2]。
按此过程继续可得一个闭区间套{[an，bn]}，显然(bn-an) = (b1-a1)/2^(n-1)，即lim[n→∞] (bn-an) = 0。
由闭区间套定理可知存在实数c属于所有闭区间[an,bn]，且lim[n→∞] an = lim[n→∞] bn = c。
现在构造数列{X(n)}的一个子列。
任取数列{X(n)}中的一项X(n1)，显然此项必在闭区间[a1,b1]内。
由于闭区间[a2,b2]内含有无穷多个数列{X(n)}的项，在其内选一个X(n2)且n2>n1。
按此过程继续可得数列{X(n)}的一个子列{X(nk)}，其通项X(nk)必在闭区间[ak,bk]内，则有关系
ak≤X(nk)≤bk
由极限的夹逼性可得
lim[n→∞] = c
五）柯西收敛原理
先定义基本数列：
如果数列{X(n)}具有如下特性
∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-X(m)|<ε)
则称此数列为基本数列。
数列{X(n)}收敛的充分必要条件是它是个基本数列。
先证必要性。如果数列{X(n)}收敛于A，按收敛定义有
∀ε>0,∃N,∀n>N∧∀m>N(|X(n)-A|<ε/2∧|X(m)-A|<ε/2)
则有
|X(n)-X(m)|≤|X(n)-A|+|X(m)-A|<ε
即数列{X(n)}是个基本数列。
再证充分性。如果数列{X(n)}是个基本数列，对于选定的固定值ε，存在N，当m和n都大于N时成立
|X(n)-X(m)|<ε
现再固定m，显见X(n)有界，即数列{X(n)}是个有界数列。由波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理可知有界数列{X(n)}必有收敛子列{X(nk)}，设其收敛于A，即lim[k→∞] X(nk) = A。
因为{X(n)}是基本数列，故∀ε>0,∃N1,∀n>N1∧∀nk>N1(|X(n) - X(nk)|<ε/2)。
又由于lim[k→∞] X(nk) = A，则∃N2,∀nk>N2(|X(nk)-A|<ε/2)。
取N=max(N1,N2)，当∀n>N∧∀nk>N时有
|X(n)-A|≤|X(n)-X(nk)|+|X(nk)-A|<ε
即数列{X(n)}收敛（lim[n→∞] X(n) = A）。证毕。
六）实数系基本定理的等价性
前面分别给出了五个实数系基本定理以及它们的证明。从其证明的过程可以发现有下列推导关系
实数连续公理→确界存在定理→魏尔斯特拉斯定理→柯西-康托尔原理（闭区间套定理）→波尔察诺-魏尔斯特拉斯定理→柯西收敛原理
此外，还存在如下的推导关系
柯西收敛原理→柯西-康托尔原理（闭区间套定理）→确界存在定理
由此可见，实数系的五个基本定理是完全等价的。
七）数列极限的性质和四则运算
下面简单罗列一下数列极限的一些性质和运算法则：
1、数列极限的唯一性
2、收敛数列的有界性
3、收敛数列的保序性
4、数列极限的夹逼性
5、数列极限的运算法则
a）lim[n→∞] (a X(n) + b Y(n)) = a lim[n→∞] X(n) + b lim[n→∞] Y(n)
b）lim[n→∞] (X(n) Y(n)) = lim[n→∞] X(n) lim[n→∞] Y(n)
c) 如果lim[n→∞] Y(n) ≠ 0，则lim[n→∞] (X(n)/Y(n)) = lim[n→∞] X(n) / lim[n→∞] Y(n)
