一、举一个发散但是有界的数列？
①
有界是说数列的每项的绝对值，都不大于某个正数。
发散是说数列的极限没有。
那么举个例子，假设这样一个数列:
1、-1、1、-1、1、-1…………
这个数列的奇数项是1，偶数项是-1，那么每项的绝对值都不大于1，是有界的。
但是当n→∞的时候，an的值在1和-1两个数跳动，所以没有极限。所以是发散。
不能从文字的角度，以为发散就是越散越开。
在数列中，发散指的是，也仅仅指的是没有极限。而没有极限的例子包含在两个固定数之间来回变动的情况，而这种情况是有界的。
②
发散就是不收敛，没有极限的意思比如1,1/2, 1/4,1/8……这个数列就收敛，极限为0而1,-1,1,-1,1,-1……,这个数列就不收敛，没有极限，但是有上界与下界
二、一个数列能有多少极限？
一个数列的极限可以有无穷个
当n趋向于不同的数时
数列就可能会有不同的极限。
数列就可能会有不同的极限
三、如何理解“数列极限”，数学大师请进？
极限是无限迫近的意思。
数列 {Xn} 的极限的极限是a，代表数列xn无限迫近a。
从直观上理解，就是数列Xn能无限的靠近a。
从数学上讲，怎么才能算无限迫近呢？ 于是就出现了ε的概念，ε 其实代表距离，ε 无限的小，就表示Xn可以无限的靠近aXn是一个追求者，a是目标，1 - n，是步伐， N是追求的过程中的某一个步伐。
Xn不停的往前走，走到N的时候，Xn与a的距离已经很小了，甚至比 ε 还小。
现在假定ε 无穷的小，那么Xn就无穷的接近a了。
数列极限，给你多少点伤害? 因为在数列极限定义中丑陋难懂的语言，让绝大部分同学直接就晕了，开始严重怀疑自己的智商. 甚至各种爆粗口，这TM谁弄出来的，你丫给我站出来，看我不把[被]你整死！可以说数列极限的定义相对于初学者来说显得很抽象且难以理解，可以说是数学分析、高等数学入门的拦路虎。
应该明确极限概念是数学分析、高等数学中最基本也是最重要的概念之一，而数列极限又是极限概念的先导,所以掌握并深刻理解数列极限的概念对以后进一步学习微积分学有着非常重要的作用。
为了帮助初学者理解数列极限的定义以及如何运用数列极限的定义证明相关的数列极限问题，本文给出数列极限的几点注释，希望对初学者的学习有所帮助。
微积分诞生于17世纪70年代，不论是连续、微分、积分还是级数等，都不可避免地要与极限打交道. 那个年代的数学家是凭借直觉做数学的，逻辑上很难把极限讲清楚，受到很大的诟病.
必须承认，上述说法不但含糊不清，而且容易产生误解. 如果只停留在这种感性认识上，任何有意义的深入讨论都将无法进行下去. 因此，必须给出严格的数学定义.但要从逻辑上把上述问题讲清楚，却是异常困难的.
直到19世纪20年代Bolzano，Cauchy等人提出新的观点，而ε-N有语言的出现，把主从反过来看，1860年Weierstrass才严格地用今天的ε-N语言来处理极限问题.至此，微积分才算建立起无暇的逻辑基础.也就是说，语言是微积分的基石和工具.
首先我们来看关于数列极限的定义:
对数列极限ε-N定义的理解:
1、首先要明白好极限的概念。简单来说，数列有极限，意味着其在变化过程中无限的趋近于一个常数（如最常见的极限0）。
数列极限的等价定义:
其中(3)、(4)是以后常用的. 另外，(4)中的 k 是与ε，N无关的正常数.
2、理解并掌握最基本的数列的极限：
3、对于较复杂的数列在求解过程中，要先进行合理的变形和转化，如通分、求和、分子（母）有理化、分子分母同时除以n的最高次项（这个方法非常重要且常用）等。
4、数列极限的运算法则：
通过具体的例子给出应用ε-N定义证明数列极限的方法,同时也强化对数列极限的定义的理解。
最后续貂几句，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，抛开物理粒子的限制，《庄子》中的这句“不竭”，便形象描绘了这永不为零的ε——数项与极限无限地靠近着，却总是爱而不得。
在数列极限中，我们常常需要通过不断变化的ε，确定随之变化的N。
N在这里就像是一个标杆，比它大的那些n才是我们所要的符合范围的合格产品。
对于ε，我们并不一定要找到那个最接近0的数，而是找到那个对应的N，建立最合理的联系。
同样，我们的幸福标准，不向外寻找，不向高寻找。
我们的成功学定义，也不需要总是建立在别人的生命上。
最重要的，应该是在自己的心中，建立起独属于自己价值标尺。
四、什么数列一定有极限？
常数列一定有极限。
反证法，
如果无穷数列一定有极限，则任何无穷数列都应该有极限。
但无穷数列{a(n) = sin(nPI/2)}没有极限
【n = 4m时，a(n) = 0;n = 4m+1时，a(n) = 1; n = 4m+2时，a(n) = 0;n = 4m+3时，a(n) = -1】
这与无穷数列一定有极限的论断相矛盾，
因此，无穷数列一定有极限的论断是不正确的。
五、数列极限收敛是什么意思？
数列收敛就是当n趋于正无穷时,这个数列的极限存在,举个例子：
数列a(n)收敛到A,这里A是一个有限数。
它的定义是：数列{Xn}，如果存在常数a，对于任意给定的正数q（无论多小），总存在正整数N，使得n>N时，恒有|Xn-a|。
数列收敛的性质：
1、唯一性
如果数列xn收敛，每个收敛的数列只有一个极限。
2、有界性
定义：设有数列xn,若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|
折叠收敛数列与其子数列间的关系：
子数列也是收敛数列且极限为a恒有Xn|
若已知一个子数列发散，或有两个子数列收敛于不同的极限值，可断定原数列是发散的。
